# 四元数乘法的数学原理

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Quaternion
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概述

四元数乘法（Quaternion Multiplication）是3D图形学中用于组合旋转的核心运算。在草地渲染系统中，这个函数用于组合多个旋转变换，生成每片草叶独特的生长方向。

四元数基础

四元数是四维超复数，可以表示为：

q=w+xi+yj+zkq = w + xi + yj + zk

其中：

  • ww 是实部（标量部分）
  • (x,y,z)(x, y, z) 是虚部（向量部分）
  • i,j,ki, j, k 是虚数单位

虚数单位的性质

虚数单位满足以下基本关系：

i2=j2=k2=ijk=−1i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1

虚数单位的乘法规则

四元数乘法基于虚数单位的乘法规则（右手定则）：

i⋅j=k,j⋅k=i,k⋅i=jj⋅i=−k,k⋅j=−i,i⋅k=−j\begin{align} i \cdot j &= k, \quad j \cdot k = i, \quad k \cdot i = j \\ j \cdot i &= -k, \quad k \cdot j = -i, \quad i \cdot k = -j \end{align}

记忆技巧：顺时针相乘为正，逆时针相乘为负。

四元数乘法公式

对于两个四元数 q1=(x1,y1,z1,w1)q_1 = (x_1, y_1, z_1, w_1) 和 q2=(x2,y2,z2,w2)q_2 = (x_2, y_2, z_2, w_2)，它们的乘积 q1×q2q_1 \times q_2 计算如下：

完整展开式

x=w1x2+x1w2+y1z2−z1y2y=w1y2−x1z2+y1w2+z1x2z=w1z2+x1y2−y1x2+z1w2w=w1w2−x1x2−y1y2−z1z2\begin{align} x &= w_1 x_2 + x_1 w_2 + y_1 z_2 - z_1 y_2 \\ y &= w_1 y_2 - x_1 z_2 + y_1 w_2 + z_1 x_2 \\ z &= w_1 z_2 + x_1 y_2 - y_1 x_2 + z_1 w_2 \\ w &= w_1 w_2 - x_1 x_2 - y_1 y_2 - z_1 z_2 \end{align}

📚 推导过程详解（初学者友好）

让我们一步一步推导这个公式，理解为什么是这样的。

第一步：写出四元数的完整形式

回忆四元数的定义：

q1=w1+x1i+y1j+z1kq2=w2+x2i+y2j+z2k\begin{align} q_1 &= w_1 + x_1 i + y_1 j + z_1 k \\ q_2 &= w_2 + x_2 i + y_2 j + z_2 k \end{align}

第二步：展开乘法（像多项式乘法）

把 q1×q2q_1 \times q_2 展开，就像 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd 一样：

q1×q2=(w1+x1i+y1j+z1k)(w2+x2i+y2j+z2k)q_1 \times q_2 = (w_1 + x_1 i + y_1 j + z_1 k)(w_2 + x_2 i + y_2 j + z_2 k)

展开后得到 16 项（4×4）：

q1×q2=  w1w2+w1x2i+w1y2j+w1z2k+x1iw2+x1i⋅x2i+x1i⋅y2j+x1i⋅z2k+y1jw2+y1j⋅x2i+y1j⋅y2j+y1j⋅z2k+z1kw2+z1k⋅x2i+z1k⋅y2j+z1k⋅z2k\begin{align} q_1 \times q_2 = &\;w_1 w_2 + w_1 x_2 i + w_1 y_2 j + w_1 z_2 k \\ &+ x_1 i w_2 + x_1 i \cdot x_2 i + x_1 i \cdot y_2 j + x_1 i \cdot z_2 k \\ &+ y_1 j w_2 + y_1 j \cdot x_2 i + y_1 j \cdot y_2 j + y_1 j \cdot z_2 k \\ &+ z_1 k w_2 + z_1 k \cdot x_2 i + z_1 k \cdot y_2 j + z_1 k \cdot z_2 k \end{align}

第三步：应用虚数单位乘法规则

现在关键来了！使用我们前面学的乘法规则：

规则回顾：

  • i2=j2=k2=−1i^2 = j^2 = k^2 = -1
  • i⋅j=k,j⋅k=i,k⋅i=ji \cdot j = k, \quad j \cdot k = i, \quad k \cdot i = j
  • j⋅i=−k,k⋅j=−i,i⋅k=−jj \cdot i = -k, \quad k \cdot j = -i, \quad i \cdot k = -j

让我们逐项化简：

第1行（w1w_1 的项）：

w1w2+w1x2i+w1y2j+w1z2kw_1 w_2 + w_1 x_2 i + w_1 y_2 j + w_1 z_2 k

这些项已经是最简形式了。

第2行（x1ix_1 i 的项）：

x1w2i→x1w2i(已是最简)x1x2i2→x1x2⋅(−1)=−x1x2(实部)x1y2(i⋅j)→x1y2⋅k(变成 k 分量)x1z2(i⋅k)→x1z2⋅(−j)=−x1z2j(变成负的 j)\begin{align} x_1 w_2 i &\rightarrow x_1 w_2 i \quad \text{(已是最简)} \\ x_1 x_2 i^2 &\rightarrow x_1 x_2 \cdot (-1) = -x_1 x_2 \quad \text{(实部)} \\ x_1 y_2 (i \cdot j) &\rightarrow x_1 y_2 \cdot k \quad \text{(变成 k 分量)} \\ x_1 z_2 (i \cdot k) &\rightarrow x_1 z_2 \cdot (-j) = -x_1 z_2 j \quad \text{(变成负的 j)} \end{align}

第3行（y1jy_1 j 的项）：

y1w2j→y1w2j(已是最简)y1x2(j⋅i)→y1x2⋅(−k)=−y1x2k(变成负的 k)y1y2j2→y1y2⋅(−1)=−y1y2(实部)y1z2(j⋅k)→y1z2⋅i(变成 i 分量)\begin{align} y_1 w_2 j &\rightarrow y_1 w_2 j \quad \text{(已是最简)} \\ y_1 x_2 (j \cdot i) &\rightarrow y_1 x_2 \cdot (-k) = -y_1 x_2 k \quad \text{(变成负的 k)} \\ y_1 y_2 j^2 &\rightarrow y_1 y_2 \cdot (-1) = -y_1 y_2 \quad \text{(实部)} \\ y_1 z_2 (j \cdot k) &\rightarrow y_1 z_2 \cdot i \quad \text{(变成 i 分量)} \end{align}

第4行（z1kz_1 k 的项）：

z1w2k→z1w2k(已是最简)z1x2(k⋅i)→z1x2⋅j(变成 j 分量)z1y2(k⋅j)→z1y2⋅(−i)=−z1y2i(变成负的 i)z1z2k2→z1z2⋅(−1)=−z1z2(实部)\begin{align} z_1 w_2 k &\rightarrow z_1 w_2 k \quad \text{(已是最简)} \\ z_1 x_2 (k \cdot i) &\rightarrow z_1 x_2 \cdot j \quad \text{(变成 j 分量)} \\ z_1 y_2 (k \cdot j) &\rightarrow z_1 y_2 \cdot (-i) = -z_1 y_2 i \quad \text{(变成负的 i)} \\ z_1 z_2 k^2 &\rightarrow z_1 z_2 \cdot (-1) = -z_1 z_2 \quad \text{(实部)} \end{align}

第四步：按分量归类整理

现在把所有项按照 i,j,k,实部i, j, k, \text{实部} 分组：

实部（w 分量）：

w=w1w2−x1x2−y1y2−z1z2w = w_1 w_2 - x_1 x_2 - y_1 y_2 - z_1 z_2

来源：直接乘积 + 三个 i2,j2,k2i^2, j^2, k^2 项

i 分量（x 分量）：

x=w1x2i+x1w2i+y1z2i−z1y2i=(w1x2+x1w2+y1z2−z1y2)i\begin{align} x &= w_1 x_2 i + x_1 w_2 i + y_1 z_2 i - z_1 y_2 i \\ &= (w_1 x_2 + x_1 w_2 + y_1 z_2 - z_1 y_2) i \end{align}

所以：x=w1x2+x1w2+y1z2−z1y2x = w_1 x_2 + x_1 w_2 + y_1 z_2 - z_1 y_2

j 分量（y 分量）：

y=w1y2j+y1w2j−x1z2j+z1x2j=(w1y2+y1w2−x1z2+z1x2)j\begin{align} y &= w_1 y_2 j + y_1 w_2 j - x_1 z_2 j + z_1 x_2 j \\ &= (w_1 y_2 + y_1 w_2 - x_1 z_2 + z_1 x_2) j \end{align}

所以：y=w1y2−x1z2+y1w2+z1x2y = w_1 y_2 - x_1 z_2 + y_1 w_2 + z_1 x_2

k 分量（z 分量）：

z=w1z2k+z1w2k+x1y2k−y1x2k=(w1z2+z1w2+x1y2−y1x2)k\begin{align} z &= w_1 z_2 k + z_1 w_2 k + x_1 y_2 k - y_1 x_2 k \\ &= (w_1 z_2 + z_1 w_2 + x_1 y_2 - y_1 x_2) k \end{align}

所以：z=w1z2+x1y2−y1x2+z1w2z = w_1 z_2 + x_1 y_2 - y_1 x_2 + z_1 w_2

第五步：最终结果

这就得到了我们的四元数乘法公式！

x=w1x2+x1w2+y1z2−z1y2y=w1y2−x1z2+y1w2+z1x2z=w1z2+x1y2−y1x2+z1w2w=w1w2−x1x2−y1y2−z1z2\boxed{ \begin{align} x &= w_1 x_2 + x_1 w_2 + y_1 z_2 - z_1 y_2 \\ y &= w_1 y_2 - x_1 z_2 + y_1 w_2 + z_1 x_2 \\ z &= w_1 z_2 + x_1 y_2 - y_1 x_2 + z_1 w_2 \\ w &= w_1 w_2 - x_1 x_2 - y_1 y_2 - z_1 z_2 \end{align} }

💡 记忆技巧

  1. 实部（w）：所有平方项都是负的（−x2,−y2,−z2-x^2, -y^2, -z^2）

  2. 虚部（x, y, z）：

    • 前两项：对应分量与实部的交叉项（如 xx 的 w1x2+x1w2w_1x_2 + x_1w_2）
    • 后两项：其他两个虚部的”循环”交叉（一正一负）

  3. 符号规律：

    • 正号：顺时针循环（i→j→k→ii \to j \to k \to i）
    • 负号：逆时针循环（i→k→j→ii \to k \to j \to i）

向量形式

也可以用向量和标量的形式表示：

q1×q2=(w1w2−v1⋅v2w1v2+w2v1+v1×v2)q_1 \times q_2 = \begin{pmatrix} w_1 w_2 - \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2 \\ w_1 \mathbf{v}_2 + w_2 \mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 \end{pmatrix}

其中 v1=(x1,y1,z1)\mathbf{v}_1 = (x_1, y_1, z_1) 和 v2=(x2,y2,z2)\mathbf{v}_2 = (x_2, y_2, z_2) 是虚部向量。

代码实现对应关系

function multiplyQuaternions(q1: Cesium.Quaternion, q2: Cesium.Quaternion): Cesium.Quaternion {
  // x 分量：w₁x₂ + x₁w₂ + y₁z₂ - z₁y₂
  const x = q1.x * q2.w + q1.w * q2.x + q1.y * q2.z - q1.z * q2.y
  //        ↑ x₁w₂        ↑ w₁x₂        ↑ y₁z₂        ↑ -z₁y₂


  // y 分量：w₁y₂ - x₁z₂ + y₁w₂ + z₁x₂
  const y = -q1.x * q2.z + q1.w * q2.y + q1.y * q2.w + q1.z * q2.x
  //        ↑ -x₁z₂        ↑ w₁y₂        ↑ y₁w₂        ↑ z₁x₂


  // z 分量：w₁z₂ + x₁y₂ - y₁x₂ + z₁w₂
  const z = q1.x * q2.y - q1.y * q2.x + q1.w * q2.z + q1.z * q2.w
  //        ↑ x₁y₂        ↑ -y₁x₂       ↑ w₁z₂        ↑ z₁w₂


  // w 分量：w₁w₂ - x₁x₂ - y₁y₂ - z₁z₂
  const w = -q1.x * q2.x - q1.y * q2.y - q1.z * q2.z + q1.w * q2.w
  //        ↑ -x₁x₂       ↑ -y₁y₂       ↑ -z₁z₂       ↑ w₁w₂


  return new Cesium.Quaternion(x, y, z, w)
}

几何意义

旋转组合

四元数乘法的主要几何意义是旋转的组合：

qresult=q1×q2q_{result} = q_1 \times q_2

表示：先应用旋转 q2q_2，再应用旋转 q1q_1

⚠️ 注意：旋转顺序从右到左！

非交换性

四元数乘法是非交换的：

q1×q2≠q2×q1q_1 \times q_2 \neq q_2 \times q_1

这意味着旋转的顺序非常重要。例如：

  • 先绕X轴转90°，再绕Y轴转90°
  • 先绕Y轴转90°，再绕X轴转90°

这两种操作的结果完全不同！

单位四元数与旋转

用于表示旋转的四元数必须是单位四元数，满足：

x2+y2+z2+w2=1x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 1

单位四元数与旋转的关系：

q=(sin⁡(θ/2)⋅axiscos⁡(θ/2))q = \begin{pmatrix} \sin(\theta/2) \cdot \mathbf{axis} \\ \cos(\theta/2) \end{pmatrix}

其中：

  • θ\theta 是旋转角度
  • axis=(x,y,z)\mathbf{axis} = (x, y, z) 是归一化的旋转轴

在草地渲染中的应用

应用场景

在 generateInstancesWithTerrain() 方法中，使用四元数乘法创建草叶的复杂朝向：

// 1️⃣ 绕Y轴旋转（基础方向）- 随机水平朝向
let angle = Math.PI - Math.random() * (2 * Math.PI)  // 0 到 2π
let rotationAxis = new Cesium.Cartesian3(0, 1, 0)    // Y轴
let x = rotationAxis.x * Math.sin(angle / 2.0)
let y = rotationAxis.y * Math.sin(angle / 2.0)
let z = rotationAxis.z * Math.sin(angle / 2.0)
let w = Math.cos(angle / 2.0)
quaternion0 = new Cesium.Quaternion(x, y, z, w)


// 2️⃣ 绕X轴旋转（前后倾斜）
angle = Math.random() * (0.25 - (-0.25)) + (-0.25)  // -0.25 到 0.25 弧度
rotationAxis = new Cesium.Cartesian3(1, 0, 0)       // X轴
x = rotationAxis.x * Math.sin(angle / 2.0)
y = rotationAxis.y * Math.sin(angle / 2.0)
z = rotationAxis.z * Math.sin(angle / 2.0)
w = Math.cos(angle / 2.0)
quaternion1 = new Cesium.Quaternion(x, y, z, w)


// 3️⃣ 组合：先Y轴旋转，再X轴旋转
quaternion0 = multiplyQuaternions(quaternion0, quaternion1)


// 4️⃣ 绕Z轴旋转（细微扭转）
const microVariation = (Math.random() - 0.5) * 0.1  // -0.05 到 0.05
angle = microVariation
rotationAxis = new Cesium.Cartesian3(0, 0, 1)       // Z轴
x = rotationAxis.x * Math.sin(angle / 2.0)
y = rotationAxis.y * Math.sin(angle / 2.0)
z = rotationAxis.z * Math.sin(angle / 2.0)
w = Math.cos(angle / 2.0)
quaternion1 = new Cesium.Quaternion(x, y, z, w)


// 5️⃣ 最终方向：前面的组合 + Z轴扭转
const orientation = multiplyQuaternions(quaternion0, quaternion1)

视觉效果

通过这种三次旋转的组合，每片草叶获得：

  1. 随机水平朝向（Y轴旋转）：草叶向各个方向生长
  2. 自然倾斜（X轴旋转）：轻微的前后倾斜，模拟重力和生长不均匀
  3. 细微扭转（Z轴旋转）：微小的旋转变化，避免过于规则

最终结果是每片草都有独特的、自然的三维朝向，极大增强了草地的真实感和自然度。

数学性质总结

1. 结合律

(q1×q2)×q3=q1×(q2×q3)(q_1 \times q_2) \times q_3 = q_1 \times (q_2 \times q_3)

2. 非交换性

q1×q2≠q2×q1q_1 \times q_2 \neq q_2 \times q_1

3. 单位元

q×qidentity=qidentity×q=qq \times q_{identity} = q_{identity} \times q = q

其中 qidentity=(0,0,0,1)q_{identity} = (0, 0, 0, 1)

4. 范数保持（单位四元数）

如果 ∥q1∥=∥q2∥=1\|q_1\| = \|q_2\| = 1，则 ∥q1×q2∥=1\|q_1 \times q_2\| = 1

参考资源

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